Beweis der Riemannschen Vermutung mit Algorithmus für Primsummandzerlegung

Primsummanden als Hyperzahlen (HZ) aus 2a + Wurzel (3a² + 1) und Primzahlidentitäten (PZID) aus Wurzel ((3 HZ²) +1) ordnen jeder Zahl n ab 3 ein HZ-PZID-Paar zu mit ((PZID/2) - 1) mod n gleich 0 bei Primzahlen und ungleich 0 bei Nicht-Primzahlen als additives Pendant zur P r i m f a k t o r z e r l e g u n g. Die Summen aller HZ-PZID-Paare sind immer gleich der ihnen folgenden Hyperzahl und beweisen mit diesem Verhältnis 1/2 d u r c h vollständige Induktion die Riemannsche Vermutung mit der Kongruenz zu der Geraden mit Realteil 1/2, auf der die nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion liegen. Die Symmetrie zur Zahl 6 aus Wurzel (3a² + 1) ist ein Primzahlencode, der additiv die Analogie zwischen P r i m s u m m a n d e n und Primzahlen bewirkt. Euler hat mit π²/6 die Analogie zwischen Addition und Multiplikation gezeigt. Neil Sloane hat die H y p e r z a h l e n (seine Homepage) als Spezial-Fall der Lucas-Folgen auf oeis.org veröffentlicht.

Wenn die Position einer Hyperzahl eine Primzahl ist, dann, und nur dann, ist das Produkt dieser und der ihr vorausgehenden Hyperzahl geteilt durch diese Position = 0 (Ausnahme -1, 1 und 3). Somit ist jeder Zahl n über das Hyperzahlpaar von (n + 1) / 2 ihre Primalität bekannt! So ist zum Beispiel 7 eine Primzahl, weil (15 · 56 = 840) mod 7 = 0, weil 840 · 3 = 2520 = Primzahlidentität von 7 = (5042 / 2) - 1 = 2520.

Gesetzmäßigkeiten bei Primsummanden:
Das 4-fache einer Hyperzahl minus Vorgängerin ist immer Nachfolgerin: oeis.org: a(n) = 4*a(n-1) - a(n-2) mit a(0) = 0, a(1) = 1.
HZ-PZID-Paare bilden multiplikativ die Hyperzahlen verdoppelter n. Bsp. für n = 3: 15 · 26 = 390 · 2 = 780 = Hyperzahl von n = 6.
Hyperzahlen sind 1/2 der Differenz der Summe ihrer beiden Vorgängerinnen und der Summe ihrer selbst und ihrer Nachfolgerin.
Die Faktoren aus HZ - Vorgängerin und HZ + Vorgängerin bilden die HZ für 2n - 1. Bsp. für n = 3: (15 - 4 = 11) · (15 + 4 = 19) = 209 = HZ von 5.

Euler hat als Erster (Basler Problem) die Verbindung der Zeta-Funktion zu den Primzahlen entdeckt. Das Euler-Produkt zeigt die einfache Identität zwischen den "chaotischen" Primzahlen und der wohlgeordneten Reihe der reziproken Quadratzahlen mit der 6er-Symmetrie als Bindeglied zwischen Addition und Multiplikation. Es lässt sich als analytische Version des Gesetzes der eindeutigen Primfaktorzerlegung interpretieren.

Die Summe der reziproken Quadratzahlen

ergibt das Produkt der Primzahlen = Grenzwert π²/6 (=1,644934...).

Die Verbindung von Addition und Multiplikation

Das erste Primzahlenpaar (2;3) zeigt mit Produkt 6 und Quadratsumme 13 - 1 = 12 die Regel der 6er-Symmetrie gemäß der ersten Werte der das Euler-Produkt bildenden Brüche: 2²/(2² - 1) = 32/24;  3²/(3² - 1) = 27/24;  5²/(5² - 1) = 25/24 usw.

Die Logik des Primzahlencodes Wurzel (3a² + 1) bewirkt bei den Primsummanden die gleiche Symmetrie und stellt damit additiv einen Zusammhang der Primzahlen mit der Primzahlidentität her (siehe folgende Tabelle).

n = 1, Primzahlidentität = 2: 2/2 = 1; 1 - 1 = 0; 0 : 1 = 0 = 0/24

n = 2, Primzahlidentität = 7: 7/2 = 3,5; 3,5 - 1 = 2,5; 2,5 : 2 = 30/24 (30 = 2 x 3 x 5)

n = 3, Primzahlidentität = 26: 26/2 = 13; 13 - 1 = 12; 12 : 3 = 96/24 (96 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3)

n = 4, Primzahlidentität = 97: 97/2 = 48,5; 48,5 - 1 = 47,5; 47,5 : 4 = 285/24 (285 = 3 x 5 x 19)

n = 5, Primzahlidentität = 362: 362/2 = 181; 181 - 1 = 180; 180 : 5 = 864/24 (864 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3)

n = 6, Primzahlidentität = 1351: 1351/2 = 675,5; 675,5 - 1 = 674,5; 674,5 : 6 = 2698/24 (2698 = 2 x 19 x 71)

n = 7, Primzahlidentität = 5042: 5042/2 = 2521; 2521 - 1 = 2520; 2520 : 7 = 8640/24 (8640 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 5)


Die Primzahlidentität "prüft" mit der Symmetrie zur Zahl 6 die Primalität. Sie steuert bei den Primsummanden im Hintergrund mit Faktor 24 die Vielfachen von 6 bei ungeraden n. Den genauen Zusammenhang zeigt die folgende Tabelle.


Marcus du Sautoy schreibt in Die Musik der Primzahlen: "Riemann fand eine komplette Landschaft, die sich über die gesamte Karte der komplexen Zahlen erstreckte. Sobald ein "komplexer" Landschaftskartograph auch nur ein winziges Gebiet einer komplexen Landschaft gezeichnet hatte, konnte man daraus den Rest der gesamten Landschaft rekonstruieren. Riemann hatte entdeckt, dass die Berge und Täler in einem Bereich der Landschaft wichtige Informationen über die Topographie der gesamten Landschaft enthielten. Das entbehrt weitgehend jeder Anschauung."

Mit Startwert 0 erzeugt 2a + Wurzel (3a² + 1) nur natürliche Zahlen und bietet damit die einfachste Anschauung. Aus einem Primsummanden können alle anderen rekonstruiert werden.

Wikipedia: "All diesen Ideen liegt eine Analogie zugrunde, die sich vereinfacht etwa so beschreiben lässt: Die Primzahlen sind "Elementarteilchen", die über die Multiplikation in Wechselwirkung treten und so die zusammengesetzten Zahlen aufbauen. Gleichzeitig werden die "Teilchen" durch die Addition angeordnet. In der Zeta-Funktion werden nun in Form einer Summen- bzw. Produktformel beide Aspekte (additiv/natürliche Zahlen und multiplikativ/Primzahlen) miteinander verbunden."

2a + Wurzel (3a² + 1) tut das Gleiche durch Erzeugung einer Symmetrie der Addition zur Zahl 6, wodurch additiv die Symmetrie zu den Primzahlen entsteht, die multiplikativ eine Symmetrie zur Zahl 6 aufweisen. Dies bedingt die Entstehung einer Geraden mit Realteil 1/2. Das Haus war also schon gebaut, als Riemann seine Landschaft mit den komplexen Zahlen gefunden hatte. Alle Versuche, den Beweis für seine Vermutung in der Landschaft zu finden, waren zum Scheitern verurteilt, weil dieser schon immer im Haus der natürlichen Zahlen versteckt war!

http://www.claymath.org/millennium-problems/riemann-hypothesis

Stefan Angersbach: Die wichtigste Funktion der Mathematik - download pdf

Zahl 1 - Grundlage für 1-Wertigkeit und Primalität

Im Kehrwert codiert eine Zahl ihre Primalität über die Periodenlänge, die als Einfache oder Vielfache zu Zahlen mit gleichen Primfaktoren führt. Mit diesem Code findet eine Primzahl sich selbst als ggT als erste folgende Zahl ihrer Periodenlänge oder eines der Vielfachen ihrer Periodenlänge. Fehlt die Primalität, finden sich nur Zahlen mit gleichen Primfaktoren. Die Teilbarkeiten der Periodenlängen ergeben sich aus dem kleinen Fermat. Grundlage ist die Kongruenz in der Zahlentheorie.

Die gesuchte Formel zur Berechnung der Primzahlen gleicht der Suche nach einem Phantom, weil die Primalität jeder Primzahl ein einzigartiges Muster darstellt, das im Zusammenhang mit allen anderen Primzahlen deren Abfolge bestimmt und ein Hypermuster erzeugt, welches in keine Formel gefasst werden kann. In diesem wächst die Mathematik gleichsam über sich selbst hinaus und verschließt sich den Weg, dieses in einer Formel auszudrücken.

Die Ordnung der Primzahlen - Gesetz des faktoriellen Grenzwerts

Dieses Muster ist fraktal und steuert die Primzahlenverteilung im Gesetz des faktoriellen Grenzwerts über Grenzwerte als angestrebte P r o p o r t i o n a l i t ä t s f a k t o r e n. Dieses bildet für alle auftretenden Mengenverhältnisse von Primzahlen in faktoriell erweiterten Zahlenräumen G r e n z w e r t e, die sich einem angewandten Faktor nähern. So stehen z. B. bei Faktor 2 die bis 573.259.391 auftretenden 30.000.000 Primzahlen den bis 1.146.518.782 auftretenden 57.893.494 im Verhältnis 1,9297831333333 . . .  Die mit zunehmender Größe seltener werdenden Primzahlen treten in faktoriell erweiterten Zahlenräumen immer öfters auf. Aus einer Konvergenz gegen Null entsteht eine Konvergenz gegen unendlich.

Hacky

Besonders danke ich Dr. J. Volkmar Schmidt, dessen Software HACKY mir eine sehr große Hilfe war beim Erkunden der Welt der Primzahlen. HACKY ist ein sehr schnelles und effizientes Werkzeug, um Primzahlen zu generieren und zu prüfen.

Beweis der Collatz-Vermutung mit Algorithmus für Primsummanden

Da  2a + Wurzel (3a² + 1) die Logik des Collatz-Algorithmus (Ist n gerade, bilde n/2, ist n ungerade, bilde 3n + 1) enthält, beweisen die Hyperzahlen der Primsummanden die Collatz-Vermutung.

  • "Die höchste Form des reinen Denkens findet sich in der Mathematik." (Platon)
  • "Die Zahl ist das Wesen aller Dinge." (Pythagoras)
  • "Wer die Geometrie begreift, vermag in dieser Welt alles zu verstehen." (Galilei)
  • "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk." (Leopold Kronecker)
  • "Zeit ist die Zahl der Bewegung hinsichtlich des davor und danach." (Aristoteles)
  • "Ein Pfeil bewegt sich nicht. Er ändert lediglich seinen Ort." (Zenon)
  • "Die tiefsten Erkenntnisse erreicht man nur durch höchste Sammlung des Geistes. Worte reichen nicht hinunter in diese letzten Gründe, nur intuitive Erleuchtung hilft zum Verständnis." (Konfuzius)
  • "Die Meister beobachten die Welt, vertrauen aber ihrer inneren Sehkraft. Sie lassen die Dinge kommen und gehen. Ihr Herz ist offen wie der Himmel." (Laotse)
  • "Zahlen sind transzendente Werkzeuge zur Struktur von Raum und Zeit als immanente Größen."

"Mathematische Forschung erfordert geistige Beweglichkeit und die Geduld, in einem unendlichen und trostlosen Labyrinth umherzuwandern, bis man auf etwas stößt, das kein Mensch je zuvor erkannt hat: einen neuen Blickwinkel, einen neuen Beweis, ein neues Theorem. Äußerst subtile logische Denkprozesse spielen sich in sehr langen Aneinanderreihungen strenger logischer Argumente, die in einer Aussage münden, die dann über jeden Zweifel erhaben ist, ab. Mit der Mathematik, und insbesondere mit der mathematischen Logik, bekommen wir die entlegensten, die am wenigsten menschlichen Objekte in den Griff, denen der menschliche Geist je begegnet ist."

David Ruelle, The Mathematician’s Brain, ISBN 978-3-642-04110-5

Herbert Müller - Hochschule Wismar - Wismarer Diskussionspapiere - Heft 22 / 2006 - Zahlen und Zahlenzusammenhänge - Neuere Einsichten zum Wirken und Gebrauch  der Zahlen in Natur und Gesellschaft

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Kugelvolumen = 1/6 π d³ - Vom Punkt zur Kugel

Da der Zusammenhang von Addition und Multiplikation sich mit dem Grenzwert π²/6 zeigt, hat eine Kugel mit dem Durchmesser 3. Wurzel von π ein Volumen von π²/6 und stellt geometrisch die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen dar. Die Kreiszahl π zeigt damit ihr ureigenstes Wesen: die Bestimmung des Volumens einer Kugel. Indem sie als Kubik auftritt, stellt sie den Bezug eines Punktes als Elementarvolumen im Verhältnis zur Unendlichkeit des Raumes her und weist gleichzeitig durch ihr Auftreten als Quadrat auf das mit diesem Volumen zusammenhängende Wachstum der Kugeloberfläche mit dem Quadrat des Abstands zum Kugelmittelpunkt und auf die reziproke Abnahme einer physikalischen Größe (Abstandsgesetz) hin. Dies bestätigt die intuitive Erkenntnis des Parmenides aus Elea, dass alles der Vollkommenheit einer Kugel entspricht.

Zenon von Elea zeigte mit den Paradoxa der Bewegung (Pfeilparadoxon, Achilles und die Schildkröte) die Diskretheit als Grundlage von Raum, Bewegung, Zeit und Quantentheorie. Hier begegnen sich die 1. und die 3. Dimension, indem ein Punkt der Größe 1 durch Ausbreitung in die 3. Dimension den Raum einer Kugel mit dem Volumen π²/6 bildet, die zum Synonym für alle Punkte wird, die als Vielfache die mathematische Grundlage für die Unendlichkeit des Raumes und der darin stattfindenden Bewegung bilden. Die 1. Dimension verwirklicht sich in der 3. Dimension. Hier findet sie ihre Bestimmung, ihr Ziel und ihre Vollendung. Der Raum als Ort wird zum Spiel-Feld der Zahlen über die Mathematik der Geometrie. Die der Ordnungsstruktur der Zahlen zu Grunde liegende Transzendenz wird bei der Strukturbildung physikalischer Phänomene durch Naturgesetze immanent angewandt. Qualitäten werden über geometrische Größen und Naturkonstanten gebildet. Die Zeit ist zusätzliche Dimension für die Dynamik des Geschehens.

Eine Bedeutung der Primzahlen findet sich in der Volumenformel für eine Kugel (1/6 π d³). Über den Fundamentalsatz der Arithmetik bilden die Primzahlen die Grundlage für die Unendlichkeit der Zahlen als transzendente Voraussetzung für die immanente Anwendung in der Unendlichkeit des Raumes und den darin stattfindenden Prozessen.

π²/6 ist ein Universalcode, der dem Raum und der Bewegung zu Grunde liegt.

Die Bedeutung der Quadratzahlen zeigt die Ulam-Spirale. 2 Geraden mit den jeweils geraden und ungeraden Quadratzahlen treffen sich in der 1 als Mittelpunkt und teilen die Ulam-Spirale in 2 gleichseitige Hälften. Ab der Primzahl 3 liegen alle Quadratzahlen und somit auch die Quadrate der "chaotischen" Primzahlen auf der Geraden mit den ungeraden Quadratzahlen.









Großer Satz von Fermat: aⁿ + bⁿ ≠ cⁿ für a, b, c, n ϵ N mit n > 2

Fermat hat sich nicht geirrt. Sein in seinem Exemplar der Arithmetica des Diophantos von Alexandria angeführter Beweis für die Unmöglichkeit ganzzahliger Lösungen für Potenzen höher 2 beim Satz des Pythagoras ergibt sich aus der Änderung der Gaußschen Summenformel in n(n-1)/2, deren Summen die Dreieckszahlen bis n-1 als Faktor 6 für jedes n ergeben. Die besonderen Eigenschaften der Faktoren 6 sind die Grundlage für Fermats einfachen Beweis.













Durch die Addition zweier dritter Potenzen wird die Eindeutigkeit der Dreieckszahlen verlassen, weil der Faktor 6 eines n1 auch in der 3. Potenz eines n2 enthalten ist. Somit ist eine Addition von vorneherein ausgeschlossen!

Gemäß dem Fundamentalsatz der Arithmetik ist die Primfaktorzerlegung eindeutig auf Grund der Wohlordnung der natürlichen Zahlen. Diese wird bei der Faktor-6-Zerlegung über die Eindeutigkeit der Dreieckszahlen auf die Addition angewendet.

Aus den möglichen Additionen der Faktoren 6 einer Zahl n geht hervor, dass gleiche Faktoren 6 nicht bildbar sind. Das Beispiel anhand der 19 zeigt: Die Summen der Faktoren 6 (Spalte 5) geteilt durch 19 ergeben durch ihre Differenzen die Reihe der natürlichen Zahlen. Excel-Tabelle zur Berechnung der möglichen Faktor-6-Kombinationen bei a³ + b³ = c³





Dreieckszahlen ergeben sich aus n (n² - 1) / 6, einer Ableitung aus der Formel für Kuben: n (n² - 1) + n.

Hierdurch entsteht die 6-er-Symmetrie der Quadratzahlen zu allen höheren Potenzen.









Auffallend bei folgenden Beispielen ist, dass wenn F6 (a) + F6 (b) = F6 (c), a + b - c immer gleich a³ + b³ - c³ ist. Warum wohl?

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